x≧0のとき1?x^2/2≦cosx が成立することを

x≧0のとき1?x^2/2≦cosx が成立することを。fx=cosx。x≧0のとき、1?x^2/2≦cosx が成立することを 示せ お手数ですが、この問題の解説をどなたか詳しくお願いします ちなみにこの不等式で=が入っていない場合 、f(x)はx=0は連続だから…と調べる必要はあるのでしょうか

fx=cosx-1-x^2/2とおく。f'x=-sinx+x, f''x=1-cosx.cosx≦1 等号が成立するのは、x=nπ nは整数のときに限るより、f''x≧0 等号成立条件はx=nπ. 但し、nは整数.よって、f'xは狭義単調増加である。f'0=0より、0xでf'x0. よって、fxはx≧0で狭義単調増加である。f0=0より、x0のときfx0であり、不等式1-x^2/2cosxが成り立つ。x=0のときは、等式1-x^2/2=cosxが成り立つ。連続であることは明らかとしていいですが、連続性や微分可能性の証明に注意を払うと下のような解答ができます。高校の教科書では、三角関数の微分可能性を示して導関数を導出するとき、sinxxtanx 0xπ/2という不等式を使います。この不等式を使うことによって、問題の不等式を導けます。半角の公式より、fx=x^2/2-2sin^2x/20xπのとき、0sinx/2x/2π3より、x≧πのとき、sinx/2≦1x/2.よって、0xのとき、fxx^2/2-2x/2^2=0.

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